Aspecte metodologice privind rezolvarea problemor de coliniaritate

Lecția este considerată forma de bază a desfășurării procesului instructiv-educativ, forma științifică de organizare a acestui proces în școală.Înțeleasă în stilul clasic de organizare (verificare, predare, fixare) lecția a constituit subiectul multor critici.Acestea se referă mai ales la rolul preponderent al profesorului și la rolul subordonat al elevului în timpul predării, la capacitatea relativ scăzută de stimulare a inventivității și creativității elevilor în procesul de instruire, la ignorarea aptitudinilor și particularităților individuale al elevilor, la folosirea, nu întotdeauna rațională, a timpului.

Pentru a se adapta noilor cerințe, lecția clasică a fost și va fi în continuare obiectul unor modificări, a unor îmbunătățiri metodice, care să contribuie la înlăturarea neajunsurilor mai sus amintite și să adauge la avantajele recunoscute ale acesteia (cadrul organizat de muncă și de însușire a cunoștințelor, emulație reciprocă între elevi, transmitere economică și sitematică a cunoștințelor), o serie de atribute noi, absolut necesare pentru acoperirea sarcinilor unui învățământ modern.

Privită din alt unghi matematica nu este o colecție de rezultate expuse elevilor în succesiunea : definiție, teoremă, demonstrație, definiție, teoremă, etc., ci maidegrabă este un sistem de metode necesare descrierii rezultatelor cunoașterii,riguros și totodată flexibil.Predarea matematicii presupune alegerea celor mai bune ,,drumuri” de comunicare a ei, realizarea unei punți de legătură între matematica propriu-zisă și pedagogie și nu în ultimul rând cunoașterea legilor învățării matematicii. Nu este simplu de găsit linia justă între matematica școlară și știința matematică, iar practicarea meseriei de profesor are multe puncte de tangență cu pedagogia, psihologia și arta sau măiestria didactică.

Formarea conceptelor geometrice, spre deosebire de altele, ridică probleme deosebite elevilor. Procesul prin care se ajunge la conceptele geometrice abstracte, ca entități mintale, este un proces complex și îndelungat. El începe o dată cu  primele percepții și imagini și se conturează entitățile mintale desprinse din suportul material, senzorial abia spre vârsta de 11-12 ani.

Un concept geometric nu se poate crea spontan, el se formează în cursul unui proces psihic, asupra căruia își pun amprenta imaginația, creativitatea, puterea de generalizare și abstractizare.

Coliniaritatea a fost din cele mai vechi timpuri cercetată temeinic,  reprezentând baza arhitecturii și ingineriei drumurilor. Este greu de imaginat lipsa acestui concept matematic în dezvoltarea civilizației umane.

Vă prezint cateva aspecte metodologice din geometria euclidiană privind probarea coliniarității.

Definiția este foarte simplă și în mod sigur intuitivă. Trei sau mai multe puncte sunt considerate coliniare dacă sunt situate pe aceeași dreaptă.

Cum aratăm ?

1. Cu ajutorul mijlocului unui segment – care este unic.

Dacă M este mijlocul lui [AB] atunci punctele A,M,B sunt coliniare.

2. Cu ajutorul dreptelor confundate – axioma lui Euclid, arătând că cele trei puncte determină două drepte paralele cu o dreaptă dată.

Dacă AB|| d și AC || d atunci dreptele AB și AC sunt drepte confundate.

3. Cu ajutorul distanțelor – arătând că fiind de aceeași parte a unei drepte sunt situate la aceeași distanță față de dreapta data.

Dacă A,B,C (dA și d(A,d)= d(B,d)= d(C,d)  A,B,C sunt coliniare.

4. Arătând că AB+BC=AC

Dacă AB, BC, AC sunt lungimi de segmente și AB+BC=AC =>   B apartine [AC] și  deci A,B,C sunt coliniare.

5. Cu ajutorul unghiurilor adiacente suplementare.

Dacă m(<ABD) +m(<DBC)=180⁰ =>   A,B,C sunt coliniare.

Pentru înțelegerea celor prezentate  voi lua o problemă pe care o voi rezolva prin mai multe metode.

Într-un triunghi oarecare ABC se prelungesc medianele [BM] și [CN] cu segmentele [MP]=[MB], respectiv [CN]=[NQ]. Să se demonstreze că punctele P,A,Q sunt coliniare.

Soluția I

În ΔBAP avem: [MN] linie mijlocie       AP|| MN   (1)

Dar și în ΔQAC [MN] linie mijlocie       AQ|| MN   (2)

Din 1 și 2      MN||AP||AQ, dar din Axioma lui Euclid ,, Într-un plan, printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la  o dreaptă dată”        P,A,Q sunt coliniare.

Soluția a II-a

Din [BN]=[NA] și [CN]=[NQ]     BCAQ paralelogram (diagonalele se înjumătățesc)       AQ ||BC (3)

    m (<BAQ)=m(<CBA)=x (4) (alterne interne), [BM]=[MP] și [CM]=[MA]     ABCP paralelogram      AP||BC (5)

    m(<CAP)=m(<ACB)=y (6).

Din (3) și (5)     BC||AP||AQ deci P,A,Q sunt coliniare.

Soluția a III-a

Notăm m(<BAC)=z    m(<PAQ) = m(<PAC) + m(<CAB) + m(<BAQ)= =y+z+x=180⁰, deci P,A,Q sunt coliniare.