Câteva probleme de maxim

Maximul produsului pentru o sumă constantă.

Se consideră numerle x și y pentru care S=x+y este constantă.

În această situație avem că produsul P=xy este maxim dacă și numai dacă x=y.

Demonstrație:

Avem următoarele relații

Adunând cele două relații obținem că 2x=S+V. Deci x=(S+V)/2.

Din prima relație obținem că y=S-x => y=S-(S+V)/2 =>y=S/2-V/2.

Deci

Valoarea lui  P este maximă dacă și numai dacă v=0, adică dacă x=y.

Observație:

Se poate generaliza acest rezultat astfel: ,,Dacă factorii unui produs au suma constantă, atunci produsul lor are valuare maximă dacă termenii produsului sunt egali”.

Exemplul 1.

Dintre toate dreptunghiurile de același  perimetru P pătratul este de arie maximă.

Notăm cu L lungimea dreptunghiului și cu l lățimea dreptunghiului

P=2L+2l fiind constantă => L+l=P/2.

Aria dreptunghiului este A=L l și este maximă dacă și numai dacă L=l=P/4. Deci în acest caz drepunghiul este un pătrat.

Exemplul 2.

Dintre toate triunghiurile izoperimetrice (care au același perimetru) aria maximă o are triunghiul echilateral.

Știm că aria unui triunghi este

unde p este semiperimetru.

Dacă S este maximă atunci S² este maximă, adică (p-a)(p-b)(p-c) este maximă. Cum termenii acestui produs au suma constantă => p-a=p-b=p-c => a=b=c =>triunghiul este echilateral.