Cognitiv și metacognitiv în practica rezolvării problemelor de matematică

Rezolvarea problemelor de matematică poate fi privită ca o povară, un obstacol sau ca o provocare. Aceasta în contextul în care rezolvarea problemelor a devenit elementul central în învățarea matematicii. Aspectul mai special constă în faptul că raționamentul matematic pare să fie, după opinia specialiștilor, independent de învățare. Tot ceea ce putem să supunem învățării sunt strategiile care înlesnesc raționamentul, cunoștințele metacognitive. Rolul profesorului este acela de a le împărtăși elevilor, prin cele mai eficiente metode, și de a-i învăța algoritmii sau procedurile aferente. Problemele pot fi mult mai simplu de rezolvat dacă deținem aceste instrumente. Unele pot avea o mulțime de soluții bune, în timp ce altele pot deține doar o singură soluție. Ceea ce pentru un elev reprezintă o problemă serioasă, poate să nu fie deloc o problemă pentru un altul.

Cunoștințele sunt definitorii pentru rezolvarea problemelor, deoarece informațiile reprezintă „motorul” care ne conduce spre soluție.

Procesele cognitive sunt, la rândul lor, deosebit de importante în procesul de rezolvare a problemelor. Anderson și colegii săi (1999) ne lămuresc cum operațiile gândirii contribuie la rezolvarea unei probleme.

* Înțelegerea îi ajută pe elevi să realize o reprezentare vizuală a problemei;
* Amintirea facilitează apelul la informațiile și procedurile care le vor fi necesare;
* Sinteza le ușurează organizarea mentală a cunoștințelor prezente în datele problemei, precum și în structura cognitivă a elevilor;
* Evaluarea este utilizată pentru a alege metodele cele mai potrivite ce vor fi folosite și dacă aceste metode sunt validate de situația concretă sau nu;
* Strategiile metacognitive facilitează stabilirea obiectivelor, conturarea planurilor, schimbarea strategiilor pe parcurs, dacă situația o impune și luarea deciziilor privind oportunitatea soluției.

Elevii care au o bună capacitate de rezolvare a problemelor de matematică au capacitatea de formulare a întrebărilor, zel în căutarea informațiilor relevante, capacitate de concentrare a atenției, perseverență și disciplină.

Pierre Vianin, în cartea sa Ajutorul strategic pentru elevii cu dificultăți școlare. Cum să-i dai elevului cheia reușitei?, propune o procedură de rezolvare care se desfășoară în cinci etape:

  1. Lectura și înțelegerea datelor;
  2. Reprezentarea situației problematice;
  3. Rezolvarea efectivă a problemei;
  4. Executarea operațiilor;
  5. Evaluarea rezultatului obținut.

Primul pas, acela al lecturii și înțelegerii datelor, este de multe ori privit cu superficialitate. Mulți dintre elevi trec foarte repede peste această etapă, considerând că lectura este specifică altor discipline, iar caracteristica matematicii nu poate fi decât realizarea calculelor. În aceste condiții, primul impuls este acela de a trece la operarea cu numerele, înainte de a fi înțeles pe deplin conținutul sau “povestea” problemei. Pentru că înțelegerea sensurilor presupune un bun nivel al lecturii, putem spune că există o corelație între acesta din urmă și capacitatea de rezolvare a problemelor de matematică.

Lecturarea datelor generează inferențe în mintea elevului. Lipsa acestora nu duce la soluții. Utilizarea cunoștințelor anterioare pentru a ajunge la noi informații, prin inferarea sensurilor, este un proces definitoriu în înțelegerea limbajului, fie că vorbim despre limbajul scris, fie despre cel oral.

Contrar aparențelor, elevii care trec foarte repede la rezolvarea problemelor, petrecând puțin timp citind enunțul acestora, nu sunt mai abili în rezolvarea lor și nu vor găsi mai repede soluțiile. Dimpotrivă, cei care consacră cea mai mare parte a timpului alocat problemei, citirii, înțelegerii și definirii ei, vor ajunge repede și precis la soluția dorită. Este o muncă de analiză și detaliere a datelor care îl ajută pe respondent să nu adopte algoritmi greșiți, să intre în labirinturi fără ieșire.

Această muncă, mai puțin prolifică, îi va permite realizarea unei reprezentări personale a situației, în formă vizuală (o văd în minte) sau auditivă (am capacitatea de a reproduce fidel datele). Pentru a ajunge la acest stadiu e nevoie ca lecturarea conținutului să fie realizată de mai multe ori (de cel puțin două-trei ori), în funcție de complexitatea problemei, subtilitatea limbajului folosit, întinderea ei fizică. Fiecare lectură îmbogățește bagajul de informații aflat în slujba rezolvării problemei. Dacă problema este ilustrată prin desene, tabele, schițe, un timp important se va aloca și analizei acestora, deoarece ele oferă, în general, informații edificatoare, având rol hotărâtor în prelucrarea semantică a datelor și în structurarea cognitivă. Un ajutor esențial îl primesc, în acest caz, elevii care au dificultăți de lecturare, fie din cauza vârstei, a problemelor de vocabular,  fie a lipsei de exercițiu, fie că vorbim despre cei dislexici.

A doua etapă, de reprezentare a situației matematice, are un rol hotărâtor, dat fiind faptul că în funcție de corectitudinea și coerența ei, elevul va aborda rezolvarea problemei. Este etapa în care se clasifică informațiile în funcție de importanță și se clarifică contextul de desfășurare. Practica a arătat că elevii înțeleg mai bine conținutul unei probleme dacă mimează, simulează sau imaginează povestea. A transforma problema într-o “poveste”, având intrigă (datele problemei) și o parte de mister (situația de rezolvat). Faptul că se pot pune în pielea personajului, în cel mai bun caz, într-o manieră dinamică, ușurează mult drumul spre rezolvare.

O modalitate la îndemâna tuturor de a verifica nivelul de înțelegere este încercarea de a spune cu propriile cuvinte, în absența textului scris, conținutul situației matematice prezentate în problemă. Dacă apar piedici în realizarea acestui demers, este recomandat ca elevul să încerce să deseneze situația, pentru a ajunge la o structurare a informațiilor și la însușirea datelor problemei.

Timpul de înțelegere a problemei trebuie să fie mai generos decât cel alocat operațiilor de realizat.

Al treilea pas este rezolvarea efectivă a problemei. În cazul în care avem de-a face cu o problemă pe care elevul deja a rezolvat-o sau care are un grad mare de similaritate cu alte probleme cu care s-a mai confruntat deja, soluția apare foarte ușor, prin preluarea informațiilor din memoria de lungă durată.

Dacă problema este complet nouă, soluția va fi găsită mai greu, într-un timp mai lung. Procesele cognitive cele mai importante implicate în acest demers vor fi gândirea divergentă și creativitatea. Subiectul își va imagina o multitudine de soluții noi, originale.  Momentul în care apare soluția este numit în literatura de specialitate “momentul insight-ului”. Deși el pare a fi o apariție bruscă, are la bază munca din etapele anterioare, fără de care nu are șansa să existe. Uneori, deși etapele anterioare sunt parcurse corect, nu se ajunge la un rezultat, ele negarantând apariția iluminării. Există situații când apariția soluției necesită o perioadă de “incubație”, care constă în întreruperea lucrului o perioadă, iar la reluarea acestuia, soluția apare brusc. Perioada de “incubație” a generat o activitate care nu ține de conștient și care ajută la apariția insight-ului. Este considerată de specialiști ca fiind o etapă în care dezactivăm cunoștințele nepotrivite, care perturbă realizarea corelațiilor dintre cele utile și atingerea scopului.

Profesorul trebuie să le explice elevilor că, într-o situație de impas, dacă algoritmii și strategiile utilizate sunt fără rezultat, inutile, este recomandat să facă o pauză în care să-și concentreze interesul în altă direcție, lăsând deoparte problema de rezolvat. Va fi un timp de repaos în care o muncă inconștientă de selectare a informațiilor are loc și se conturează direcții noi de rezolvare.

Execuția operațiilor este cea de-a patra etapă. Acum are loc alegerea operațiilor necesare și efectuarea calculelor. Este important ca elevul să se obișnuiască să își noteze toate operațiile efectuate, dat fiind faptul că întotdeauna este bine să verifice calculele, să le controleze, să revină asupra lor sau chiar să refacă întregul demers.

A cincea etapă este cea a evaluării rezultatului obținut. Întâlnim adesea la elevi tendința de a se bucura că au ajuns la un rezultat, indiferent de mijloacele utilizate sau de corectitudinea lui. Etapa de autocontrol este foarte importantă, ea permițând stabilirea validității rezultatului. În acest scop, se va proceda la o ultima lecturare a datelor, pentru a se asigura că s-au dat răspunsuri la întrebările problemei, și nu la alte situații care ar defini doar parțial cerințele acesteia sau la cu totul alte solicitări. Este de dorit ca rezultatele obținute să fie înlocuite direct în problemă, pentru a verifica validitatea lor.

Recomandarea pentru profesori este ca, încă din  primele contexte de rezolvare a problemelor, să le formeze elevilor deprinderea de a rezolva conform acestui algoritm complex, dar absolut necesar pentru ușurința și calitatea rezolvării. Etapele principale ale rezolvării problemelor de matematică se învață de la clasele foarte mici. Dacă profesorul constată că un anumit elev sau chiar întreaga clasă  nu și-a însușit acest element de bază, își va începe activitatea cu acest element de metacogniție, asigurându-se că, în timp, el va deveni automatism pentru toți elevii.

O altă manieră prin care profesorii pot crește capacitățile elevilor de rezolvare a problemelor este aceea de a-i face pe aceștia să se concentreze pe procese mai degrabă decât pe rezultate. Ellen Langer subliniază faptul că atunci când se gândesc la rezultate, elevii devin mai inhibați în rezolvarea problemelor. O orientare pe proces, gândirea la „Cum aș putea să fac asta?” în loc de „Pot să fac asta?” le concentrează atenția la multiple modalități în care o problemă poate fi rezolvată, distrăgându-le atenția de la posibilitățile la fel de numeroase de eșec (Langer, 1989, p. 34).

Totuși, dezvoltarea la elevi a intenției de a analiza procesul care a dus la rezolvarea problemei e foarte dificilă. Acest aspect e explicabil, într-o anumită măsură, prin cultura specifică a orelor de matematică în care, scopul rezolvării unei probleme este mai ales găsirea răspunsului, nu dezvoltarea capacităților de rezolvare a problemelor. Alocarea de timp pentru scrierea și discutarea proceselor pe care le-au utilizat pentru a rezolva probleme, îi poate ajuta pe elevi să-și modeleze propriile procese. Există multe cercetări în slujba ideii că elevii își dezvoltă capacitățile de rezolvare a problemelor lucrând în grupuri (Wegerif, 2002). Aceste contexte sociale le facilitează ocazia de a discuta despre maniera în care progresează lucrul la un proiect.

Capacitatea de rezolvare a problemelor este una dintre cele mai importante și apreciate capacități ale elevilor. Elevii care  identifică probleme ce necesită a fi soluționate, explorează variante de soluții, utilizează strategii de gândire variate și folosesc procese metacognitive, sunt aproape “predestinați” să aibă succes la școală, la locul de muncă și în viață.

 

ERIC Development Team. (1999). Reflective thought, critical thinking. ED 436 007. Washington, DC: USDE.

Langer, E. J. (1989). Mindfulness. New York: Merloyd Lawrence.

Vianin,P. (2011). Ajutorul strategic pentru elevii cu dificultăți școlare. Cum să-i dai elevului cheia reușitei?. Cluj-Napoca: Editura ASCR.

Wegerif, R. (2002). Literature review in thinking skills, technology, and learning.  Bristol, England: NESTA, 2002.

www.nestafuturelab.org/research/reviews/ts01.htm*