FRACTALI

• Teoria fractalilor și teoria haosului au format o nouă ramură a matematicii, făcând ca aceasta să devină mai interesantă din punct de vedere al aplicațiilor. Cu o evoluție de aproximativ 60 ani, aceste două teorii s-au infiltrat foarte repede în lumea științei, cunoscând aplicații în aproape toate domeniile existente, începând cu domeniile informatice și terminând cu aplicații elaborate în economie, statistică, geografie, arte plastice. Aceste două noțiuni au început să ne ofere o nouă cale de percepere a realității.
• Istoria fractalilor are originea în anul 1975, când apare lucrarea fondatorului geometriei fractale, Benoit Mandelbrot, “O teorie a sistemelor fractale”. Această lucrare a dus la fondarea unei noi ramuri matematice, și anume a geometriei fractale. Geometria fractală este recunoscută ca nouă ramură a matematicii, având la bază articolul lui Mandelbrot “Care este lungimea țărmului Marii Britanii?”, ca mai apoi să devină un domeniu practic al matematicii în urma apariției cărții sale “Geometria fractală a naturii ” în 1982.
• Cuvântul fractal (însemnând fragmentat, fracționat, întrerupt) a fost pentru prima dată utilizat de către Mandelbrot și ținea să ilustreze munca multor matematicieni dinaintea sa, care au creat fractali mai mult ca un exercițiu matematic: Helge von Koch, Georg Cantor, Waclav Sierpinski și David Hilbert.
• Dar ce este un fractal? Este un corp cu o forma neregulată, ce poate fi fragmentat, fragmentele sale asemănându-se cu întregul.

Utilizări ale fractalilor

• Geometria fractalilor oferă un limbaj folosit pentru a descrie, modela și analiza forme complexe găsite în natură.
• Câteva categorii pe care fractalii le pot modela sunt:
• Plante
• Vremea
• Curgerea fluidelor
• Activitățile geologice
• Orbitele planetelor
• Comportamentul grupurilor de animale
• Tipare socio-economice
• Cu ajutorul fractalilor se pot măsura textura și complexitatea oricărui lucru, de la liniile de coastă ale oceanelor la munți și la norii de ploaie.

Fractalii oferă un mod de observare și modelare a unor fenomene deosebit de complexe pe care geometria euclidiană și matematica lui Leibnitz și Newton nu o pot reprezenta util. De asemenea, fractalii sunt exploatați și în artă și arhitectură.

În natură, sunt considerați fractali munții presărați cu stânci colțuroase, corola unui arbore sau rădăcinile acestuia răspândite în sol în toate direcțiile, norii al căror contur se modifică permanent, rețeaua hidrografică, valurile mării, rețeaua de vase sanguine, un fulg de zăpadă; chiar și Universul sau părți ale sale, având o structură neregulată, pot fi considerate fractali. Caracteristicile fractalilor vin în contrast cu ordinea din geometria euclidiană și cu perfecțiunea cristalelor din lumea fizică.

Arborii și ferigile sunt fractali naturali care pot fi modelați ușor pe calculator folosind un algoritm recursiv. Natura recursivă este evidentă în aceste exemple — o ramură a unui arbore sau o frunză a unei ferigi este o copie în miniatură a întregului: nu identice, dar similare. O altă plantă la care se poate observa ușor auto-similitudinea este conopida (sau broccoli).

In matematică, fractalul este un obiect a cărui geometrie (dimensiuni) este dată de fracții.

Triunghiul lui Sierpinski – se obține pornind de la un triunghi și decupând recursiv triunghiul (central) format de mijloacele fiecărei laturi.

Fulgul de zăpadă al lui Koch – se obține pornind de la un triunghi echilateral și se înlocuiește treimea din mijloc de pe fiecare latură cu două segmente astfel încât să se formeze un nou triunghi echilateral exterior. Apoi se execută aceiași pași pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. La fiecare iterație, perimetrul acestei figuri crește cu patru treimi. Fulgul Koch este rezultatul unui număr infinit de execuții ale acestor pași, și are lungime infinită, în timp ce aria sa rămâne finită.

 

Fractalii din natură nu par a respecta niște reguli anume. Spre deosebire de aceștia, fractalii matematici se construiesc după anumite reguli. Se pleacă de la un obiect cunoscut (de exemplu, un segment de dreaptă, un cerc, un contur poligonal regulat etc.), considerat ca fiind „inițiatorul” – și care, prin deformare, rupere etc., se transformă în altceva, după o lege de construcție oarecare (numită „generator”), operația repetându-se de un număr infinit de ori.

Figura din stânga explică modul în care se construiește fractalul numit curba lui Van Koch. Inițiatorul este segmentul de dreapta AB. Prima etapă a generării acestei curbe se face prin divizarea segmentului de dreapta AB în trei segmente egale, urmată de înlocuirea segmentului din mijloc cu laturile unui triunghi echilateral, a cărui bază este eliminată. Se repetă operația (a doua etapă): fiecare segment se împarte din nou în trei părți egale, și din nou, mijlocul fiecăruia se înlocuiește cu laturile unui triunghi echilateral căruia îi lipsește baza. Se repetă aceeași operație de n ori. Curba lui Van Koch corespunde trecerii la limită, când n  Aceasta curbă are niște proprietăți remarcabile: este de lungime infinită, continuă, dar nederivabilă!