Geometrii neeuclidiene

 O proprietate a triunghiului pe care nu o s-o uităm  niciodată vine dinspre geometrie (e partea din matematică pe care am îndrăgit-o cu adevărat): În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor interne este de 180°. Afirmația de mai sus este corectă, ați spune. Ei bine, nu e. Adică e corectă, dar nu în orice condiții. Mai lipsește ceva… Proprietatea e adevărată doar în condițiile geometriei euclidiene.

Geometria sferică vine și contrazice tot ce știam noi… suma unghiurilor interioare ale triunghiurilor sferice este mai mare de 180°.O foarte simplă demonstrație a contrariului e atât de aproape, chiar sub picioarele noastre: Globul Pământesc.

Și asta nu e tot; multe alte teoreme ale geometriei euclidiene sunt nule când vine vorba de geometria sferică. Două drepte paralele se întâlnesc la infinit, nu? Ia gândiți-vă… liniile imaginare care definesc longitudinea sunt paralele la Ecuator conform axiomelor geometriei plane (unghiurile coresponedente formate cu secanta – Ecuatorul, în acest caz – sunt congruente). Dar ele se întâlnesc de două ori: la Polul Nord și la Polul Sud.

În cartea I din Elemente, Euclid a formulat cinci axiome (postulate), care,  considera el, definesc geometria plană. Aceste axiome au format un sistem de adevăruri absolute, cu o validitate de necontestat. Această convingere fermă s-a bazat pe faptul că ele par evidente :

1. Oricare două puncte determină o singură dreaptă.
2. Orice segment de dreaptă poate fi prelungit indefinit în ambele direcții.
3. Există întotdeauna un cerc cu centrul într-un punct dat și cu raza de lungime dată.
4. Toate unghiurile drepte sunt egale între ele.
5. Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la dreapta dată.

Axioma a cincea este mai puțin evidentă decât primele patru, de aceea matematicienii au încercat, fără succes, s-o demonstreze. În secolul al XIX-lea s-a demostrat existența a două geometrii, care nu satisfac axioma paralelelor :

Geometria sferică, în care nu există paralele și care are ca model suprafața unei sfere și

Geometria hiperbolică, în care se pot duce printr-un punct o infinitate de paralele.

Despre geomatria sferică

Linii și unghiuri pe o sferă

Pe suprafața unei sfere, cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari, adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei. De exemplu, considerând Pământul o sferă (în realitare este un geoid), meridianele și ecuatorul sunt sunt cercuri mari pe suprafața lui, în timp ce liniile neecuatoriale ale latitudinilor sunt cercuri mici. Ca și segmentul de dreaptă din plan un arc al unui cerc mare (subîntinde un unghi mai mic de 180°) pe sferă este drumul cel mai scurt care leagă două puncte de pe sferă. Cercurile mari sunt cazuri speciale ale conceptului unei geodezice.

O arie de pe sferă limitată de arcele unor cercuri mari se numește un poligon sferic. De notat că, spre deosebire de cazul poligonului plan, diunghiul sferic, format din două laturi, este posibil (precum o felie tăiată dintr-o portocală). Un astfel de poligon se numește lunulă. Laturile unor astfel de poligoane nu sunt specificate prin lungimile lor, ci prin unghiul de la centrul sferei care subîntinde latura dintre cele două puncte extreme. De notat că unghiul arcului, măsurat în radiani, multiplicat cu raza sferei este egal cu lungimea arcului.

Prin urmare, un triunghi sferic este definit în mod normal prin unghiurile și laturile sale, dar laturile lui sunt date nu prin lungimile arcelor, ci prin unghiurile sale de la centrul sferei.

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este întotdeauna mai mare decât suma unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180°. Mărimea E prin care suma unghiurilor depășește 180° se numește exces sferic:

în care α, β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic. Teorema lui Girard, numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai devreme de matematicianul englez Thomas Harriot, dar nepublicată), demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi sferic:

în care R este raza sferei. Din acestă formulă și din formula ariei unei sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este:

Despre geometria hiperbolică

În matematică, geometria hiperbolică (numită și geometria lobacevskiană sau geometria Bolyai-Lobacevskiană) este o geometrie non-euclidiană, adică axioma (postulatul) paralelelor din geometria euclidiană este înlocuită. Axioma paralelelor din geometria euclidiană este echivalentă cu faptul că, într-un spațiu bidimensional, pentru orice dreaptă d și orice punct P care nu aparține dreptei d, există o unică dreaptă care trece prin P și care nu intersectează dreapta d, adică este paralelă cu d. În geometria hiperbolică există cel puțin două drepte care trec prin P și nu se intersectează cu d, astfel încât această axiomă nu mai ramâne valabilă. Diverse modele au fost construite cu ajutorul geometriei euclidiene, prin excluderea axiomelor din geometria hiperbolică, demonstrând astfel că axioma paralelelor este independentă de celelalte axiome ale lui Euclid. O proprietate caracteristică geometriei hiperbolice atestă faptul că suma unghiurilor unui triunghi este mai mică decât măsura unui unghi drept. În cazul în care vârfurile tind la infinit, există triunghiuri hiperbolice ideale, în care toate cele trei unghiuri au măsurile egale cu 0°.