Recreații matematice pentru neuroni

Poate că, la început, enunțurile acestor probleme vi se vor părea greșite. În realitate, veți descoperi că nu este deloc așa. 

1.Ulița lui Ghiță 

De câte ori trecea pe ulița satului mânând vitele la păscut, Ghiță număra și efectua calcule în minte.

Nu trecuseră nici două luni de când Ghiță constatase că unica uliță a satului avea casele numerotate de la 1 la ultimul număr, fără să lipsească vreunul.

Dar, astăzi, când tocmai se hotărâse să calculeze media aritmetică a tuturor numerelor de pe casele uliței, așa cum citise într-o carte, constată că una dintre ele, cea a Glanetasului, a fost demolată, iar media aritmetică a numerelor caselor rămase este 51,15.

Oare ce număr a avut casă Glanetasului? Se întreba Ghiță.

Rezolvare:

Sunt prea puține date pentru a rezolva această problemă? Te asigurăm că rezolvarea ei nu necesită decât punerea în valoare a cunoștințelor pe care le ai și un mic efort intelectual.

Cred că n-ai uitat că suma primelor n numere naturale este n(n+1)/2, deci media lor aritmetică este M=(n+1)/2.

Evident, M este un număr natural sau pozitiv cu o singură zecimală, 5.

Facem observația: dacă numărul casei demolate este mai mic decât media aritmetică a tuturor caselor, atunci nouă medie aritmetică (a caselor rămase) este mai mare decât media aritmetică inițială, nouă medie aritmetică este mai mică decât cea inițială.

Deoarece nu cunoaștem decât faptul că noua medie aritmetică este  51,15 și este evident că:51 < 51,15 < 51,5,

Rezultă că media aritmetică a tuturor caselor (inclusive acelei demolate) este 51 sau 51,5.

Avem, așadar, variantele:

a)(n+1)/2=51, din care rezultă imediat că numărul de case al satului este n=101;

b)(n+1)/2=51,5 și atunci numărul caselor satului este 102.

Dacă n=101, atunci suma numerelor  tuturor caselor satului este 5151 și, dacă notăm cu x numărul casei demolate, avem 51,15=(5151-x)/100, de unde obținem că x=46 este numărul casei demolate.

Dacă n=102, atunci suma tuturor caselor satului este 5253 și din ecuația 51,15= (5253-x)/101 obținem x=86,85.

Evident, satisfice numai Soluția x=46, numărul natural.

Așadar, casa lui Ion avea numărul 46.

2.Prezentați-vă soția, domnule Brown! 

1. În 1918, în ziua încheierii armistițiului Primului Război Mondial (11 noiembrie), trei perechi de proaspăt căsătorite au luat cina împreună.
2. Fiecare soț era fratele uneia dintre soții, iar fiecare soție era sora unuia dintre soți; adică avem trei perechi de frate-sora.
3. Helen este exact cu 26 de săptămâni mai în vârstă decât soțul ei, care s-a născut în august.
4. Sora domnului White este căsătorită cu cumnatul fratelui lui Helen.Ea, sora domnului White, s-a căsătorit cu el tocmai în ziua ei de naștere, care cade în ianuarie.
5. Marguerite White nu este atât de înalta cât William Black.
6. Sora lui Arthur este mai drăguță decât Beatrice.
7. John are 50 de ani.

Datele prezentate, utilizate cu multă atenție și discernământ într-o constructive logică coerentă, ne pot conduce la prenumele doamnei Brown.

Rezolvare:

Această problemă de logică se soluționeaza cel mai bine prin completarea a trei tabele: 

Tabel nume/ prenume pentru soți

Tabel nume/ prenume pentru soții

Tabel nume/ prenume pentru frate/sora

 Din premisa E, aflăm că numele doamnei White este Marguerite (1).

Pentru numele celorlalte două soții rămân doar două variante:

Dacă Helen s-ar numi Brown și Beatrice Black (1).

Pentru numele celorlalte două soții rămân doar două variante:

Dacă Helen s-ar numi Brown și Beatrice Black, atunci sora dlui White ar trebui să fie Helen sau Beatrice.Ea nu poate fi Beatrice, deoarece fratele lui Helen ar fi atunci Black, cei doi cumnați ai lui Black ar fi White(fratele surorii sale) și Brown(soțul surorii sale), însă Beatrice Black nu e măritată cu niciunul dintre ei, fapt incompatibil cu premisa D.Deci sora dlui White trebuie să fie Helen(2).

Deducem că sora lui Brown este Beatrice este Beatrice(3), iar sora lui Black, Marguerite(4).

Premisa F ne conduce la concluzia că prenumele lui White este Arthur(5).

Se elimină varianta Arthur Brown, deoarece în acest caz Beatrice ar fi mai drăguță decât însăși, iar Arthur Black se elimină cu premisa E (numele lui Black este William).De aceea prenumele lui Brown trebuie să fie John(6).

Din nefericire, premisa G ne informează că John s-a născut în 1868(50 de ani înaintea armistițiului), an bisect.Aceasta ar face-o pe Helen mai în vârstă cu o zi față de cele 26 de săptămâni specificate în premisa C, ziua de naștere a soțului ei fiind august.Acum atenție!

Ea poate fi exact cu 26 de săptămâni mai în vârstă numai dacă ziua ei de naștere este pe 31 ianuarie, iar a lui pe 1 august și ziua de 29 februarie nu intervine în acest caz.Aceasta elimina cea de-a două (dintre cele două) alternative cu care am pornit.Conchidem că soțiile sunt Marguerite White, Helen Black și Beatrice Brown.Beatrice este sora cu Brown, Helen sora lui White, dar această concluzie lasă nedecise prenumele lui White și al lui Brown.

Dar am găsit răspunsul căutat:prenumele doamnei Brown este Beatrice. 

3.Atunci, acum cândva… 

Andrei și Barbu s-au întâlnit, ca de obicei, să-și sărbătorească împreună ziua lor comună de naștere.

Acum câțiva ani, își amintește Barbu, Andrei i-a spus:

-Când voi fi de trei ori mai bătrân decât tine, voi avea de 5 ori vârsta ta.

Astăzi, Andrei îi spune lui Barbu:

-Când am fost de 5 ori mai bătrân decât tine, aveam de 3 ori vârstă ta.

Am verificat cu mare atenție enunțul.Nu conține nicio greșeală!

Rezolvare:

Dacă A și B sunt vârstele de astăzi ale personajelor Andrei și Barbu, atunci, acum câțiva ani (să zicem y ani), vârstele celor doi erau A – y și B – y.Cum în cele două discuții este vorba de vârstele lor de peste câțiva ani (să zicem x ani), vom folosi în calculele lor de atunci, A + x și B + x.

Afirmația făcută de Andrei acum y ani se va citi: Când voi fi de trei ori mai în vârstă decât tine, voi avea de 5 ori vârstă ta – se înțelege că este vorba de vârsta lui Barbu în momentul  discuției de acum y ani și putem scrie:

A + x  = 3 (B + x) = 5 (B – y)

Afirmația de astăzi se citește: Când am fost de 5 ori mai bătrân decât tine, aveam de 5 ori vârsta ta (de acum) și se referă tot la vârsta din prezent a lui Barbu, deci putem scrie:

A – y = 3 ◦ B = 5 (B – y),

Din această relație obținem că 5A = 17B și y = 7/25B.

Ce ,,spun’’ aceste două relații în numere naturale?

Că vârstă actuală a lui Barbu se divide cu 25.Se verifică B = 25 și eventual B = 50 și se obțin singurele valor plauzibile pentru vârstele celor doi, B = 25 și A = 85.

Să verificăm:

Acum t = 7 ani, Andrei avea 78 de ani și Barbu 18.El, Barbu, a apreciat corect: atunci când voi avea de 3 ori vârstă ta, deci când Andrei va avea 90 de ani și Barbu 30, Andrei va avea de 5 ori vârstă de 18 ani pe care o avea Barbu la vremea discuției.Astăzi, când cei doi au vârstele de 85 și, respective, 25 de ani, Andrei are, de asemenea, dreptate afirmând: acum câțiva ani (acum 10 ani) el, Andrei avea vârstă de 75 de ani, de trei ori mai mică decât vârstă actuală a lui Barbu, de 25 de ani, și de 5 ori vârstă pe care o avea Barbu (de 15 ani) acum 10 ani, atunci când Andrei avea vârstă de 75 de ani.