Triunghiul lui Pascal

Blaise Pascal (n. 19 iunie 1623, Clermont-Ferrand, Franța – d. 19 august 1662, Paris, a trăit, deci, 39 de ani, la fel ca Eminescu) a fost un matematician, fizician și filosof francez, care a avut numeroase contribuții în domeniul stiinței, precum construcția unor calculatoare mecanice, considerații asupra teoriei probabilităților, studiul fluidelor prin clarificarea conceptelor de presiune și vid. În urma unei revelații religioase avute în 1654, la vârsta de 31 de ani, Pascal abandonează parțial matematica și științele exacte și își dedică viața filozofiei și teologiei. În onoarea contribuțiilor sale în știință numele Pascal a fost dat unității de măsură a presiunii, precum și unui limbaj de progamare.

Triunghiul lui Pascal este un aranjament geometric al coeficienților dezvoltării (x+y)².
Coeficienții binomului ridicat la puterea n se găsesc prin însumarea coeficienților de la ridicarea la puterea (n-1) și respectarea regulei conform căreia pe marginea triunghiului lui Pascal avem 1. Triunghiul este simetric Aranjamentul poate fi continuat la infinit.
Astfel  (a+b)²=1^.a²+2^.a^.b+1^.b², adică linia a 3-a a triunghiului, sau (a+b)⁴=1^.a⁴+4^.a^3.b+6^.a^2.b²+4^.a^.b³+1^.b⁴, adică linia a 5-a triunghiului.

Puterile lui 2. Un alt model observabil este faptul că, dacă însumăm numerele fiecarei linii din triunghi, aceasta va fi egala cu  (n fiind numarul liniei). Astfel

 1         = 2⁰

        1+1       = 2¹

     1+2+1     = 2²

  1+3+3+1   = 2³

 1+4+6+4+1= 2⁴

Puterile lui 11. Dacă considerăm fiecare rând a fi un singur număr, atunci acesta va reprezenta puterile lui 11. De la rândul al cincilea încolo, unde vom avea numere formate din  mai multe cifre, vom aduna numărul de pe poziția precedentă cu prima cifră a numărului și tot așa până când acestea se termină. Exemplu:

1 = 11⁰

                 11 = 11¹

      121 = 11²

                                                    1331 = 11³

  14641 = 11⁴

                     1 5 10 10 5 1 = 1(5+1)(0+1)051 = 161051 = 11⁵

 1 6 15 20 15 6 1 = 1(6+1)(5+2)(0+1)561= 1771561 = 11⁶

Numere prime. Dacă primul element dintr-un rând este un număr prim (numărul 1 al fiecărui rând este considerat prin convenție elementul zero), atunci toate numerele ce compun acel rând sunt divizibile cu acel număr prim. De exemplu:

Rândul 7: 1 7 21 35 35 21 7 1. Numerele 21 și 35 sunt divizibile cu 7.

Rândul 11: 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1. Numerele 55, 165, 330 și 462 sunt divizibile cu 11 

Șirul lui Fibonacci. In triunghiul lui Pascal însumarea numerelor de pe diagonala n va rezulta cel de al n-lea termen din sirul lui Fibonacci. În șirul de numere al lui Fibonacci, fiecare număr reprezintă suma a două numere anterioare, începând cu 0 și 1. Astfel, șirul incepe cu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 etc

Pătratul elementelor unui rând. Suma pătratelor tuturor numerelor ce formează un rând va fi egală cu elementul din mijloc al dublului răndului inițial:

Rândul 3: 1² + 3² +  3² + 1² = 1 +9 + 9 + 1 = 20. Elementul din mijloc al rândului 3 x 2 = 6 este 20.

Rândul 4: 1² + 4² + 6² + 4² + 1² = 1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70. Elementul din mijloc al rândului 4 x 2 = 8 este 70.

Modelul crosei de golf sau de hochei. Începeți cu orice „1” din dreapta sau din stânga marginilor triunghiului și mergeți pe diagonală oricât vreți. Atunci cănd vă opriți întoarceți-vă cu 90 de grade iar acel număr va fi egal cu suma tuturor numerelor de pe diagonala cu care ați început.